（2014•长宁区二模）在△ABC中，已知BA=BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD交于点E，∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．（1）如图（1），求证：∠EAP=∠EPA；（2）如

Question

（2014•长宁区二模）在△ABC中，已知BA=BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD交于点E，∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）如图（1），求证：∠EAP=∠EPA；
（2）如图（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN=∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），若DC=1，CP=3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C′处，设CQ=x，△DC′Q与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域．

Answer 1

（1）证明：在△ABC和△AEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴∠ACB=∠APE
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠AEP+∠EAP+∠EPA=180°，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴▱APCD是矩形．
∵EA=EP，
∴∠EPA=(180°−∠AEP)/(2)=(180°−∠ABC)/(2)=90°-(1)/(2)α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-(1)/(2)α）=90°+(1)/(2)α
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-(1)/(2)α+α=90°+(1)/(2)α
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，

∠EAM＝∠EPN

EA＝EP

∠MEA＝∠NEP

∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

（3）作QF⊥AD垂足为F，

∵DC=1
∴FQ=1
由△DCQ沿直线DQ翻折得到△DC′Q
∴∠C′=90°   C′Q=CQ   
由C′D=FQ
设QF=a由（x-a）²=a²+1²
∴a=(x2−1)/(2x)
DQ=x-(x2−1)/(2x)
∴y=（x-(x2−1)/(2x)）×1÷2
y=(1)/(4)x+(1)/(x)
x的定义域为：0＜x＜1．