（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+

Question

（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式，并求出当0≤x≤3时，y₂的最大值．

Answer 1

（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）²+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x-3）²+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x-3）²+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x-3）²+4与y=3（x-3）²+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x-3）²+4与y=3（x-3）²+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）²+4与y=3（x-3）²+4．

（2）∵y₁的图象经过点A（1，1），
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1．
整理得：m²-2m+1=0．
解得：m₁=m₂=1．
∴y₁=2x²-4x+3
=2（x-1）²+1．
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5
=（a+2）x²+（b-4）x+8
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1
=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴

b−4＝−2(a+2)

8＝(a+2)+1

．
解得：

a＝5

b＝−10

．
∴函数y₂的表达式为：y₂=5x²-10x+5．
∴y₂=5x²-10x+5
=5（x-1）²．
∴函数y₂的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y₂的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y₂的图象开口向上，
∴y₂随x的增大而减小．
∴当x=0时，y₂取最大值，
最大值为5（0-1）²=5．
②当1＜x≤3时，
∵函数y₂的图象开口向上，
∴y₂随x的增大而增大．
∴当x=3时，y₂取最大值，
最大值为5（3-1）²=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y₂的最大值为20．