一道线性代数题证明：n阶矩阵A=(aij)为正交矩阵的充要条件是：|A|＝±1,且在|A|＝1时,A的每个元素都与它的代数余子式相等,即aij=Aj；在|A|＝-1时,aij＝－Aij

Question

一道线性代数题
证明：n阶矩阵A=(aij)为正交矩阵的充要条件是：|A|＝±1,且在|A|＝1时,A的每个元素都与它的代数余子式相等,即aij=Aj；在|A|＝-1时,aij＝－Aij

Answer 1

我们知道.对于方阵A,总有：
∑aijAkj＝δik|A|.（∑:求和项为 j＝1,2……,n.以下不再重复注明）.
充分性证明：
①|A|＝1,aij=Aij.上式成为∑aijakj＝δik.A满足行正交条件.A为正交矩阵.
②|A|＝-1,aij=-Aij.还是有∑aijakj＝δik.A满足行正交条件.A为正交矩阵.
必要性证明：A为正交矩阵,有∑aijakj＝δik.且|A|＝±1.
先固定k.让i=1,2.…….n.得到一个非齐次线性方程组,系数矩阵是A.
未知数是ak1,ak2,……,akn.常数列是（0,……,1,0……）′.唯一的
一个1在第k个方程.按克莱木公式：akj＝Aj/|A|.
Aj为A中第j列换为常数列而得的行列式.细看会知道Aj＝Akj.
从而,当|A|＝1时,akj=Akj;|A|=-1时,akj=-Akj.
注意k的任意性.必要性成立.