f是n维欧式空间V的对称变换,证明:f的像子空间imf是f的核子空间kerf的正交补子空间

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f是n维欧式空间V的对称变换,证明:
f的像子空间imf是f的核子空间kerf的正交补子空间

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答案和解析

首先用定义证明im(f)与ker(f)正交.
任意x∈im(f),y∈ker(f).即有f(y) = 0,且存在z∈V使x = f(z).
由f是对称变换,内积(x,y) = (x,f(z)) = (f(x),z) =(0,z) = 0,即x,y正交.
再由im(f)与ker(f)维数互补,即知im(f)是ker(f)的正交补.

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