已知函数f（x）=x2+bx+4（b∈R）（1）若函数f（x）在闭区间[1，3]有且只有一个零点，求b的取值范围；（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）-f（x2）≤4恒成立，求b的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²+bx+4（b∈R）
（1）若函数f（x）在闭区间[1，3]有且只有一个零点，求b的取值范围；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）-f（x₂）≤4恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（1）①△=0时，得：b=±4，
b=-4时，显然函数f（x）在区间[1，3]只有1个零点2，
 ②当△＞0时，由图形可知

f(1)≥0

f(3)≤0

⇒

1+b+4≥0

9+3b+4≤0

⇒−5≤b≤−(13)/(3)，
.经检验b＝−5满足条件，b＝−(13)/(3)不满足条件．
∴b的取值范围为[−5，−(13)/(3))∪{−4}，
（2）原式等价于f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，
①-(b)/(2)＜-1，即b＞2时，f（x）在x∈[-1，1]递增，
∴f（x）_min=f（-1）=5-b，f（x）_max=f（1）=5+b，
∴M=2b＞4，与题设矛盾；
②-1≤-(b)/(2)≤0，即0≤b≤2时，f（x）在x∈[-1，-(b)/(2)]递减，在x∈[-(b)/(2)，1]递增，
∴f（x）min=f（-(b)/(2)）=-(b2)/(4)+5，f（x）max=f（1）=5+b，
∴M＝(b2)/(4)+b≤4结合上述条件解得0≤b≤2，
 ③当0＜−(b)/(2)≤1，即-2≤b＜0时，
f（x）在x∈[−1，−(b)/(2)]上单调递减，在x∈[−(b)/(2)，1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-