如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角

Question

如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=(π)/(4)，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．

（1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan(5)/(4)≈3）
（2）求S的最小值．

Answer 1

（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=(π)/(4)，∠PME=(3π)/(4)-θ，
由正弦定理可得PM=(PEsin∠PEM)/(sin∠PME)=(4)/(sinθ+cosθ)，
同理，在△PNE中，PN=(2√(2))/(cosθ)，
∴S_△PMN=(1)/(2)PM•PN•sin∠MPN=(4)/(cos2θ+sinθcosθ)=(8)/(√(2)sin(2θ+(π)/(4))+1)，
M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=(3π)/(4)-(5)/(4)，
∴0≤θ≤(3π)/(4)-(5)/(4)，
综上所述，S_△PMN=(8)/(√(2)sin(2θ+(π)/(4))+1)，0≤θ≤(3π)/(4)-(5)/(4)；
（2）当2θ+(π)/(4)=(π)/(2)即θ=(π)/(8)时，S取得最小值(8)/(√(2)+1)=8（√(2)-1）平方米�