若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（）A.764cm3或586cm3B.764cm3C.586cm3或564cm3D.586cm3

Question

若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm²，则这三个正方体的体积之和为（　　）
A. 764 cm³或586 cm³
B. 764 cm³
C. 586 cm³或564 cm³
D. 586 cm³

Answer 1

设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，
由题意知，6（a²+b²+c²）=564，即a²+b²+c²=94，
不妨设1≤a≤b≤c＜10，从而3c²≥a²+b²+c²=94，即c²＞31．
故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．
①若c=9，则a²+b²=94-9²=13，
易知a=2，b=3，得一组解（a，b，c）=（2，3，9）；
②若c=8，则a²+b²=94-64=30，显然b≤5．但2b²≥30，b≥4，从而b=4或5．
若b=5，则a²=5无解，若b=4，则a²=14无解．此时无解；
③若c=7，则a²+b²=94-49=45，有唯一解a=3，b=6；
⑤若c=6，则a²+b²=94-36=58，
此时2b²≥a²+b²=58，b²≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，
此时a²=58-36=22无解．
综上，共有两组解

a＝2

b＝3

c＝9

或

a＝3

b＝6

c＝7.

体积为V1＝23+33+93＝764cm³或V2＝33+63+73＝586cm³．
故答案为：A．