在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1，且a2a5＝827，（1）求证：{an}是等比数列，并求出通项公式（2）−1681是这个数列的项吗？，如果是，是第几项？

Question

在各项均为负数的数列{a_n}中，已知2a_n=3a_n+1，且a2a5＝(8)/(27)，
（1）求证：{a_n}是等比数列，并求出通项公式
（2）−(16)/(81)是这个数列的项吗？，如果是，是第几项？

Answer 1

（1）∵2a_n=3a_n+1，
∴(an+1)/(an)=(2)/(3)，故{a_n}是等比数列，且其公比为(2)/(3)，
又a1qa1q4＝(8)/(27)得a12＝(9)/(4)，(a1＜0)即a1＝−(3)/(2)
所以，an＝(−(3)/(2))((2)/(3))n−1＝−((2)/(3))n−2；
（2）由（1）的结论，令−(16)/(81)＝−((2)/(3))n−2
得 ((2)/(3))4＝((2)/(3))n−2
由指数函数性质知4=n-2，即n=6，为正整数，
则−(16)/(81)是该数列的第6项．