已知数列｛an｝的前n项和为sn,且有a1=2.sn=2an2.（1）求数列an的通项公式（2）若bn=n·an,求数列｛bn｝的前n项和tn

Question

已知数列｛an｝的前n项和为sn,且有a1=2.sn=2an_2.（1）求数列an的通项公式
（2）若bn=n·an,求数列｛bn｝的前n项和tn

Answer 1

1.
n=1时,S1=a1=2a1-2
a1=2
n≥2时,Sn=2an -2 S(n-1)=2a(n-1)-2
Sn -S(n-1)=an=2an -2-2a(n-1)+2
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2,为定值.
数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列.
an=2×2^(n-1)=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ.
2.
bn=n·an=n·2ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Tn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2+2²+2³+...+2ⁿ -n×2^(n+1)=2×(2ⁿ -1)/(2-1) -n×2^(n+1)=(1-n)×2^(n+1) -2
Tn=(n-1)×2^(n+1) +2