求微分方程的通解求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解

Question

求微分方程的通解
求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解

Answer 1

求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解
xy'+y=yln(xy)；令xy=u,则y=u/x.(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得：
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx；
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx,即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验：对通解的两边取对数：lny=Cx-lnx；取导数：y'/y=C-1/x；故y'=Cy-(y/x)；
代入原式：左边=Cxy-y+y=Cxy；右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy；故左边=右边,答案正确.】