求微分方程y″+2y′+y=xex的通解．

Question

求微分方程y″+2y′+y=xe^x的通解．

Answer 1

微分方程y''+2y'+y=xe^x对应的齐次微分方程为y''+2y'+y=0
特征方程为t²+2t+1=0
解得t₁=t₂=-1
故齐次微分方程对应的通解y＝(C1+C2x)e−x
因此，微分方程y''+2y'+y=xe^x对应的非齐次微分方程的特解可设为y^*=（ax+b）e^x
y^*'=（ax+a+b）e^x
y^*''=（ax+2a+b）e^x
将y^*，y^*'，y^*''代入微分方程y''+2y'+y=xe^x消去e^x即可得到：
（ax+2a+b）+2（ax+a+b）+（ax+b）=x
4ax+4a+4b=x

4a＝1

4a+4b＝0

a＝(1)/(4)

b＝−(1)/(4)

所以，非齐次微分方程的特解为y*＝((1)/(4)x−(1)/(4))ex
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y''+2y'+y=xe^x的通解为y+y*＝(C1+C2)e−x+((1)/(4)x−(1)/(4))ex．