真心请教有限域问题，代数高手不吝赐教，高分奉送有限域GF(q)有两种类型：一种是q为素数，这种域同构于整数模p的同余类域。这种域我已经懂了。另一种是q=p^m,p为素数，这种我不太懂。

Question

真心请教有限域问题，代数高手不吝赐教，高分奉送
有限域GF(q)有两种类型：一种是q为素数，这种域同构于整数模p的同余类域。这种域我已经懂了。
另一种是q=p^m,p为素数，这种我不太懂。
书上说域中的元素是（m-1）阶的多项式。多项式的系数是整数模p的同余类域的元素，域中运算为模f(x)。这些话我不太懂，希望哪位高手能以GF(2^3)，即GF(8)为例。说明域中的元素是什么，它的本原元是什么，怎么求的？
我现在只知道，因为8－1＝7，所以域中本原元个数为(7^0)*(7-1)=6个，这个理解对吗？
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诚心请教，希望基于GF(8)给出解释，谢绝引用教材。

Answer 1

我来给你解答。
第一个问题，GF（8）是怎么构造的。
域有两类，有限域和无限域，这既是根据域中元素的个数来划分的，也是根据域的特征来划分的。如果一个域的特征是0，那么这个域是无限域，比如Q，C。如果域的特征是p，那么这个域就是有限域，并且域中元素的个数一定是p^n个，这里p是素数。
对于有限域GF（q）的构造，如果q是素数，那么模q的剩余类环就是需要构造的域。否则，如果q是素数方幂，那么GF(q)同构于GF(p)[x]/f(x),f(x)是GF（p）上的不可约n次多项式。
说这个可能你不太明白，用你的例子来说更具体。
GF(8)=GF(2^3),为了构造这个域，需要找一个在GF（2）上不可约的三次多项式，比如f(x)=x^3+x+1(所谓在GF（2）上不可约，就是0，1都不是这个多项式的根)，那么GF(2)[x]/f(x)就是GF(8).把它的元素都写出来
GF(2)[x]/f(x)={a+bx+cx^2, a,b,c in GF(2)}
写出来有8个元素{0,1,x,x+1,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}.
他们的运算都按照模掉f（x）来加，乘。
第二个问题
本原元的个数，GF(8)的乘法群是8-1=7阶循环群，那么本原元的个数就是phi(7)=6,这里phi是欧拉函数。
希望你能看明白，如果有问题可以再讨论。