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1+i是f(x)=x^4+4x^3+5x^2-2x-2的一个根,求在复数域和实数域上的标准分解式.
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1+i是f(x)=x^4+4x^3+5x^2-2x-2的一个根,求在复数域和实数域上的标准分解式.
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答案和解析
f(x)=x^4-4x^3+4x^2-x^3+4x^2-4x+x^2-4x+4
=x^2(x^2-4x+4)-x(x^2-4x+4)+(x^2-4x+4)
=(x^2-4x+4)(x^2-x+1)
=(x-2)^2(x^2-x+1)
此为实数域的分解
若为复数域,则进一步有：
f(x)=(x-2)^2[x-(1-i√3)/2][x-(1+i√3)/2]
=x^2(x^2-4x+4)-x(x^2-4x+4)+(x^2-4x+4)
=(x^2-4x+4)(x^2-x+1)
=(x-2)^2(x^2-x+1)
此为实数域的分解
若为复数域,则进一步有：
f(x)=(x-2)^2[x-(1-i√3)/2][x-(1+i√3)/2]
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