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已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).(1)求g(x)的解析式及定义域;(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
题目详情
已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).
(1)求g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
(1)求g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)=2x,
∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.(3')
因为f(x)的定义域是[0,3],
所以
,
解之得0≤x≤1.
于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}.(或写成[0,1],否则扣1分)(6')
(2)设g(x)=(2x)2-4×2x
=(2x-2)2-4.(8')
∵x∈[0,1],
即2x∈[1,2],
∴当2x=2即x=1时,
g(x)取得最小值-4;(10')
当2x=1即x=0时,
g(x)取得最大值-3.(12')
∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.(3')
因为f(x)的定义域是[0,3],
所以
|
解之得0≤x≤1.
于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}.(或写成[0,1],否则扣1分)(6')
(2)设g(x)=(2x)2-4×2x
=(2x-2)2-4.(8')
∵x∈[0,1],
即2x∈[1,2],
∴当2x=2即x=1时,
g(x)取得最小值-4;(10')
当2x=1即x=0时,
g(x)取得最大值-3.(12')
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