如果f（x）x∈D,在定义域内有两条对称轴,x=a,x=b,（a＜b）.则该函数是周期函数.且周期为b减a的绝对值的2倍.（不一定是最小政周期）.这个公式是如何证明的?

Question

如果f（x）x∈D,在定义域内有两条对称轴,x=a,x=b,（a＜b）.则该函数是周期函数.且周期为b减a的绝对值的2倍.（不一定是最小政周期）.这个公式是如何证明的?

Answer 1

因为是对称轴嘛.
a为对称轴则有：f(a-x)=f(a+x) --1
b为对称轴则有：f(b-x)=f(b+x) --2
加入新变量t,将x=t-a代入1,x=t-2a+b 代入2
则有 f(2a-t)=f(t),f(2a-t)=f(t-2a+2b),所以f(t)=f(2a-t)=f(t+2(b-a))
再将t换回x即可.
所以f(x)=f(x+2(b-a))
因为b>a,所以2(b-a)为正数,所以f(x)为周期函数,有2(b-a)的周期