求In=∫(sina)^nxdx的递推公式

Question

求In=∫(sina)^nxdx的递推公式

Answer 1

I_n = ∫ sin^n(x) dx
= ∫ sin^(n-1)(x) * sinx dx
= -∫ sin^(n-1)(x) d(cosx)
= -sin^(n-1)(x) * cosx + ∫ cosx d[sin^(n-1)(x)]
= -sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)∫ cosx * sin^(n-2)(x) * cosx dx
= -sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)∫ cos²x * sin^(n-2)(x) dx
= -sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)∫ (1 - sin²x) * sin^(n-2)(x) dx
= -sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)∫ sin^(n-2)(x) dx - (n-1)∫ sin^(n-2)(x) * sin²x dx
= -sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)∫ sin^(n-2)(x) dx - (n-1)I_n
[1 + (n-1)] * I_n = -sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)∫ sin^(n-2)(x) dx
I_n = -(1/n)sin^(n-1)(x) * cosx + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx