求由曲线y=x平方,y平方=8x所围成的平面图形绕y轴旋转体的体积.

Question

求由曲线y=x平方,y平方=8x所围成的平面图形绕y轴旋转体的体积.

Answer 1

y=x^2与 y^2=8x的交点坐标是(0,0),(2,4)
则
y=x^2绕y轴旋转体的体积 与y^2=8x绕y轴旋转体的体积之差就是由曲线y=x平方,y平方=8x所围成的平面图形绕y轴旋转体的体积
y=x^2
只看右支
∴x=√y
∴∫(0->4) π(√y)^2 dy -∫(0->4)π(y^2/8)^2 dy
=πy^2/2|(0->4)-π/64∫(0->4)y^4dy
=π/2 (16-0) -π/64*y^5/5|(0->4)
=8π-π/320(4^5-0)
=8π-3.2π
=4.8π