y=f(x)在[a,b]上连续非负,由曲线f(x),直线x=a,x=b及x轴围城的平面绕y轴旋转一周得旋转体这里采用的是剥层法近似的把图形看做由若干个圆环柱体的体积之和,当分割T→0时,圆环柱体体积之

Question

y = f(x) 在[a,b]上连续非负,由曲线f(x),直线x = a ,x = b 及x轴围城的平面绕y轴旋转一周得旋转体
这里采用的是剥层法
近似的把图形看做由若干个圆环柱体的体积之和,当分割T→0时,圆环柱体体积之和等于所求旋转体体积.
在[a,b]上取分割为T的n-1个分点,
得到n个区间：
[x0,x1],[x1,x2],…,[x(i-1),xi],…,[x(n-1),xn]
对每个区间旋转后形成的圆环柱体,
vi=π[(xi)^2-(xi-Δi)^2]*f(ξ)
=π(2xiΔi-Δi^2)*f(ξ)
舍去高价无穷小量
≈2π[xif(ξ)]*Δi
所以体积之和为
∑2π[xif(ξ)]*Δi
=2π∑[xif(ξ)]*Δi
当T→0时,极限等于 为什么 当T→0时,极限等于
2π∫xf(x)dx 积分区间[a,b

Answer 1

　　是这样.你的问题是什么?
这个问题也可用微元法解释：任取 x∈ [a,b] (应加条件b>a>0),则以区间[x,x+dx]上高为f(x)的矩形微元,以x为半径,绕y轴旋转后的体积微元是
dV(x) = 2πxf(x)dx,
这样,所求的旋转体的体积就是这些体积微元的连续累加,即积分
V = ∫[a,b]dV(x) = 2π∫ [a,b]xf(x)dx.