洛必达发则帮忙证明一下络必达法则洛必达是怎样发现这个法则的

Question

洛必达发则
帮忙证明一下络必达法则
洛必达是怎样发现这个法则的

Answer 1

洛必达法则(l'Hôpital's rule),是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法. 　　
设 　　
(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； 　　
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么 　　x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x). 　　再设 　　
(1)当x→∞时,函数f(x)及F(x)都趋于零； 　　
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0； 　　
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x). 　　
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意：①在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形）,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.比如利用泰勒公式求解.②若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. ④洛必达法则常用于求不定式极限.基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a）,而其他的如1*∞等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解.
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关于洛必达法则的一则趣闻
从前教微积分时感觉最难过的关就是极限的概念,反反复复许多遍很多学生仍然是不得要领.有关极限的题目当然大多数人都不会做,偶尔不小心做对了也是因为考试前刚好复习过同样的题目,很多学生在概念上是绝对没有搞清楚的.这样就使得大多数学生见到极限的题目就头痛.一直到我下半学期讲到洛必达法则时,学生们高呼救星到了.他们甚至埋怨我为什么有这么省事的公式不早点教,害得他们辛苦大半学期.但是没有极限概念哪里来的导数,没有导数又怎样用洛必达法则,这中间的道理学生们是不会去管它的.总之有好公式不用就是老师坑人.几学期微积分学下来,大多数定理概念都已经还给了老师,但洛必达法则一般人是一定记得住的.这是他们最喜欢的公式,而且他们把它当作仙丹妙药,不管是该用还是不该用的地方都乱用一气.
洛必达法则对许多极限问题确实很有效.不过很奇怪的是,历史上其它的数学家、高斯、欧拉、莱布尼兹、黎曼等等在数学的各个领域都留下了他们的名字.唯有这洛必达就只有孤零零的这么一个定理.能搞出这么重要的一种算法(法则),怎么可能在其它方面没有丝毫建树呢?原来,洛必达并不是什么大数学家.这所谓的洛必达法则也不是他搞出来的,而是他花钱买来的.洛必达是一个贵族,业余时间喜欢搞一些数学,几乎到了上瘾的地步.甚至不惜花重金请当时的大数学家贝努利兄弟给他做长期辅导.可惜他的才气远远不如他的财气.虽然十分用功,但他在数学上仍然没有什么建树.贝努利兄弟当时正与莱布尼茨这样的大数学家交流合作,又正赶上微积分的初创时期,所以总有最新成果教给洛必达.这些最新成果严重地打击了他的自信心.一些他自己感到很得意,废寝忘食搞出来的结果,与贝努利兄弟教给他的最新结果比起来只能算是一些简单练习题,没有丝毫创意.另一方面,这些新结果又更激起了他对数学的着迷.他继续请贝努利兄弟辅导.甚至当他们离开巴黎回到瑞士以后,他还继续通过通信方式请他们辅导.如此持续了一段时间,他的“练习题”中仍没有什么可以发表扬名的东西.他内心深处越来越丧气,却又不甘心.心想,我对数学如此热心,一定要想办法在数学上留下一点东西让人记住我的名字.终于有一天,他给贝努利兄弟之一的约翰写了一封信,信中说：“很清楚,我们互相都有对方所需要的东西.我能在财力上帮助你,你能在才智上帮助我.因此我提议我们做如下交易：我今年给你三百个里弗尔(注：一里弗尔相当于一磅银子).并且外加两百个里弗尔作为以前你给我寄的资料的报答.这个数量以后还会增加.作为回报,我要求你从现在起定期抽出时间来研究一些固定问题,并把一切新发现告诉我.并且,这些结果不能告诉任何别的人,更不能寄给别人或发表.
约翰收到这封信开始感到很吃惊,但这三百里弗尔确实很吸引人.他当时刚结婚,正是需要用钱的时候,而且帮助洛必达,还可以增加打入上流社会的机会.约翰想,洛必达最多不过就是拿这些结果到他的朋友那里去炫耀一下,没什么大不了的.算盘打下来,这笔交易还是比较划算的.于是,他定期给洛必达寄去一些研究结果,洛必达都细心地研究它们,并把它们整理起来.一年后,洛必达出了一本书,题目叫《无穷小量分析》(就是现在的微积分).其中除了他的“练习题”外,大多数重要结果都是从约翰寄来的那些资料中整理出来的.并且他还用了一些莱布尼兹的结果.他很聪明地在前言中写到：我书中的许多结果都得益于约翰·贝努利和莱布尼兹,如果他们要来认领这本书里的任何一个结果,我都悉听尊便.贝努利拿了人家的钱当然不好意思再出来认领这些定理.这书中就包括了现在的学生们最喜爱的定理洛必达法则.贝努利眼睁睁看着自已的结果被别人用却因与人有约在先而说不出来.洛必达花钱买了个青史留名,这比后来的人花钱到克莱敦大学买个学位划算多了.
当然贝努利不愿就此罢了.洛必达死后他就把那封信拿了出来,企图重认那越来越重要的洛必达法则.现在大多数人都承认这个定理是他先证明的了.可是人们心中先入为主的定理名字恐再也变不回来了.