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若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值.
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若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值.
▼优质解答
答案和解析
若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整数,但没有一个整数是素数,
∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数,
若都不是素数,则其中至少有四个数是合数,不妨假设,为合数,
设其中最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4
由于两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同
设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7
因为为合数,
所以其中一定存在一个
aj≥p2≥72=49,与n≤48矛盾,
于是其中一定有一个是素数
综上所述,正整数n的最大值为48.
∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数,
若都不是素数,则其中至少有四个数是合数,不妨假设,为合数,
设其中最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4
由于两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同
设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7
因为为合数,
所以其中一定存在一个
aj≥p2≥72=49,与n≤48矛盾,
于是其中一定有一个是素数
综上所述,正整数n的最大值为48.
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