解同余式x^4+7x+4≡0(mod27),要求详细过程.谢谢啦!

Question

解同余式x^4+7x+4≡0(mod27),要求详细过程.谢谢啦!

Answer 1

解同余式x^4+7x+4==0(mod27),要求详细过程
先解x^4+7x+4==0(mod3),
显然x0 mod 3；由欧拉定理,xx==1 mod 3 故 x^4==1
故1+7x+4==0 x==1 mod 3
其实对于这种简单的模,可以用实值代入：x==0,1,-1 mod 3代入检验,立得x==1
再令x==1+3t mod 9,即 x==1,4,-2 mod 9,排除1,-2,并知x==4 mod 9
再令x=4+9t mod 27,即x==4,13,-5 mod 27,排除4,取x==-5代入正确,
x==13等效于2x==-1,写成x==-1/2,代入得1/16-7/2+4==0,即1/16+1/2==0,不正确.这里的写法为洪伯阳同余表示法.
也可将原同余式等效于(2x)^4+7*16x+64==0,用2x==-1代入验证.
故原同余式的解为 x==-5 mod 27