设有一半径为R，长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）设圆柱体比重为ρ（ρ＞1），现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？

Question

设有一半径为R，长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）设圆柱体比重为ρ（ρ＞1），现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？

Answer 1

建立坐标系，任取小区间[x，x+dx]⊂[-R，R]相应的柱体薄片，则体积为
2yldx＝2l√(R2−x2)dx
水下部分提升力为[重力与浮力之差]
F1＝(ρ−1)2yldx＝(ρ−1)2l√(R2−x2)dx
由于移至水面时薄片移动S₁=R-x
∴dw₁=F₁•S₁=（ρ-1）2yl•（R-x）dx=2(ρ−1)l(R−x)√(R2−x2)dx
水上部分所受的力为F2＝ρ2yldx＝2ρl√(R2−x2)dx
又薄片整个移出水面时，此薄片离水面距离为S₂=R+x，
∴所做的功为dw₂=F₂•S₂=2ρl(R+x)√(R2−x2)dx
故
dw=dw₁+dw₂=[2(ρ−1)l(R−x)+2ρl(R+x)]√(R2−x2)dx=2l[(2ρ−1)R+x]√(R2−x2)dx
因此，所做的功为W＝

∫

R −R

 2l[(2ρ−1)R+x]√(R2−x2)dx=l（2ρ-1）πR³