已知函数f（x）=2x+λ2-x（λ∈R）．（1）当λ=-1时，求函数f（x）的零点；（2）若函数f（x）为偶函数，求实数λ的值；（3）若不等式12≤f（x）≤4在x∈[0，1]上恒成立，求实数λ的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2^x+λ2^-x（λ∈R）．
（1）当λ=-1时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）为偶函数，求实数λ的值；
（3）若不等式(1)/(2)≤f（x）≤4在x∈[0，1]上恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=2^x+λ2^-x，当λ=-1时，∴2^x-2^-x=0，解得，x=0；
（2）∵函数f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴λ2^x+2^-x=2^x+λ2^-x，解得λ=1
（3）∵(1)/(2)≤f（x）≤4
∴(1)/(2)≤2^x+λ2^-x≤4
∴-2^2x+2^x-1≤λ≤-2^2x+2^x+2，
设2^x=t，t∈[1，2]，
∴-t²+(1)/(2)t≤λ≤-t²+4t，
分别令g（t）=-t²+(1)/(2)t，h（t）=-t²+4t，
∴g（t）_max=g（1）=-(1)/(2)，h（t）_min=h（1）=3
∴-(1)/(2)≤λ≤3