动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到

Question

动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为(t)/(8)．不考虑其它星体对飞船的影响，求：

（1）月球的平均密度是多少？
（2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？（

Answer 1

（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：
T₃=(t)/(8n)…①
由万有引力提供向心力有：G(mM)/(R2)=mR(4π2)/(T2)…②
又：M=ρ(4)/(3)πR³…③
联立得：ρ=(192πn2)/(Gt2)…④
（2）设飞船在轨道1上的角速度为ω₁，在轨道3上的角速度为ω₃，有ω1=(2π)/(T1)  ω3=(2π)/(T3)，
设飞船再经时间t相距最近，有：ω₁t-ω₂t=2nπ，得t=(mt)/(7n)（m=1，2，3，…）他们又会相距最近，
答：1）月球的平均密度是(192πn2)/(Gt2)
（2）经时间(mt)/(7n)（m=1，2，3，…）他们又会相距最近．