sinB+sinAcosC=0,tanB的最大值是快

Question

sinB+sinAcosC=0,tanB的最大值是
快

Answer 1

sinB=sin(π-(A+C))=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
所以原式变为
2sinAcosC+cosAsinC=0
2tanA=-tanC,
tanC=-2tanA
tanB=tan(π-(A+C))=-tan(A+C)=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=tanA/(1+2tanA*tanA)
令t=tanA
所以只需求
f(t)=t/(1+2t^2)的最大值
为了最大,显然需要t>0,f(t)>0,不然f是非正数
所以等价于求
1/f(t)的最小值
=1/t+2t
>=2根号(1/t*2t)
=2根号2
所以
f(t)最大是1/(2根号2)
此时
1/t=2t
t=(根号2)/2
所以tanB最大值是 根号2/4,此时A=arctan (根号2)/2,C=π-arctan 根号2