在三角形ABC中,若sinB+sinAcosC=0则tanB的最大值是

Question

在三角形ABC中,若sinB+sinAcosC=0则tanB的最大值是

Answer 1

sinB/sinA=-cosC>0
∴ C为钝角,A,B为锐角
且sinB=-sinAcosC
又sinB=sin(A+C)
∴sin(A+C)=-sinAcosC
∴sinAcosC+cosAsinC=-sinAcosC
∴2sinAcosC=-cosAsinC
∴2tanA=-tanC
∴tanB=-tan(A+C)
=-(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)
=tanA/(1+2tan²A)
=1/(2tanA+1/tanA)
∵tanA>0,根据均值定理
2tanA+1/tanA ≥2√(2tanA*1/tanA)=2√2
∴1/(2tanA+1/tanA)≤√2/4
∴tanB的最大值为√2/4