100把连续编号的锁,第一次把所有锁上锁,第二次把2的倍数的锁解锁,第三次把编号是3的倍数的锁状态反过来,然后N次把编号为N倍数的反转状态,问,第100次后,有多少锁是开着

Question

100把连续编号的锁,第一次把所有锁上锁,第二次把2的倍数的锁解锁,第三次把编号是3的倍数的锁状态反过来,
然后N次把编号为N倍数的反转状态,问,第100次后,有多少锁是开着

Answer 1

答,有90把锁是开着的,依照题意分析得知,编号是1的锁只能操作一次,因为1不是任何数的倍数,由此,操作的次数是奇数次就是上锁的状态,操作的次数是偶数次就是开锁的状态,100内的所有数字都可以变换成数字与数字相乘的形式,如6=2*3=1*6 7=1*7 因此这样的数字至少都是两个数相乘的形式,第一次锁上,到下一次总会开开的,总有一个乘数与它相乘等于这个数字.只有平方数是特殊的,100以内的平方数 有2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=25 6^2=36 7^2=49,8^2=64,9^2=81 10^2=100 一共9个平方数,这九个平方数操作的次数是奇数次,因此最后最后一定是锁上的,所以一共有100-1-9=90个锁是开着的.