在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求平面ABCD与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

Question

在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．

（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求平面ABCD与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，
又∵PM⊥CD，且AB∩CD，
∴PM⊥面ABCD，
∵PM⊂面PAB．∴面PAB⊥面ABCD．
（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，
∵PM⊥CD，且PM∩MH=M，
∴CD⊥平面PMH，
∴CD⊥PH，
则∠PHM是二面角平面PCD与平面ABCD所成角的平面角，
在四棱锥P-ABCD中，设AB=2t，
则DM=(√(13))/(2)t，PM=(√(3))/(2)t，MH=(7√(5))/(10)t，
∴PH=(4√(5))/(5)t，
从而cos∠PHM=(HM)/(PH)=((7√(5))/(10)t)/((4√(5))/(5)t)=(7)/(8)，
即平面ABCD与平面PCD所成的锐二面角的余弦值是(7)/(8)．