如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，PA⊥底面ABCD，其中BA⊥AD，AD∥BC，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，且BM=13BA，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．（Ⅰ）求平面PAD与平面PMC所成锐二面角的正切值；

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，PA⊥底面ABCD，其中BA⊥AD，AD∥BC，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，且BM=(1)/(3)BA，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．

（Ⅰ）求平面PAD与平面PMC所成锐二面角的正切值；
（Ⅱ）已知N是PM上一点，且ON∥平面PCD，求(PM)/(PN)的值．

Answer 1

（1）连接CM并延长交DA的延长线于E，则PE是平面PMC与平面PAD所成二面角的棱，
过A作AF垂直PE于F，连接MF．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥MA，
又MA⊥AD，∴MA⊥平面PAD，
∵AF⊥PE，∴MF⊥PE，
∴∠MFA是平面PMC与平面PAD所成锐二面角的平面角…（3分）
∵BC=2，AD=4，BC∥AD，AM=2MB，
∴AE=4，又PA=4，∴AF=2√(2)，
∴tan∠MFA=(MA)/(FA)=(√(2))/(2)，
所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为(√(2))/(2)．…（6分）
（2）连接MO并延长交CD于G，连接PG，
∵ON∥平面PCD，∴ON∥PG，
在△BAD中∵(BO)/(OD)=(BC)/(AD)=(1)/(2)，又(BM)/(MA)=(1)/(2)，
∴(BO)/(OD)=(BM)/(MA)，
∴MO∥AD，…（9分）
又在直角梯形ABCD中，由(MO)/(BC)=(AM)/(AB)，(OG)/(AD)=(OC)/(AC)，可得：MO=OG=(4)/(3)，
∵ON∥PG，
∴PN=MN，
∴(PM)/(PN)=2．…（12分）