“整式的加减法”里面的变号是怎么回事?感觉好乱啊!谁能帮我梳理梳理?要说得详细一点,最好多举一些例子哦~

Question

“整式的加减法”里面的变号是怎么回事?感觉好乱啊!谁能帮我梳理梳理?
要说得详细一点,最好多举一些例子哦~

Answer 1

　　整 式 加 减
　　整式的加减是全章的重点,是我们今后学习方程,方程组及分式,根式等知识的基础知识,我们应掌握整式加减的一般步骤,达到能熟练地进行整式加减运算.
　　一、本讲知识重点
　　1．同类项：在多项式中,所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
　　例如,在多项式3m2n+6mn2-mn2-m2n中,3m2n与-m2n两项都含字母m,n,并且m的次数都是2,n的次数都是1,所以它们是同类项；6mn2与-mn2两项,都含有字母m,n,且m的次数都是1,n的次数都是2,所以它们也是同类项.
　　在判断同类项时要抓住“两个相同”的特点,（即所含字母相同,并且相同字母的次数也相同）并且不忘记几个常数也是同类项.
　　2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
　　合并同类项的法则是：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
　　例如：合并同类项3m2n+6mn2-mn2-m2n中的同类项：
　　原式=(3m2n-m2n)+( 6mn2-mn2)
　　=(3-)m2n+(6-)mn2
　　=m2n+mn2
　　合并同类项的依据是：加法交换律,结合律及分配律.要特别注意不要丢掉每一项的符号.
　　例如,合并下式中的同类项：-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9
　　原式=-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9(用不同记号将同类项标出,不易出错漏项)
　　=(-3x2y-7x2y)+(5xy2-6xy2)+(4-9)（利用加法交换律,结合律将同类项分别集中）
　　=(-3-7)x2y+(5-6)xy2-5（逆用分配律）
　　=-10x2y-xy2-5（运用法则合并同类项）
　　多项式中,如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,这两项就相互抵消,结果为0.如：
　　7x2y-7x2y=0,-4ab+4ab=0,-6+6=0等等.
　　有时我们可以利用合并同类项的法则来处理一些问题,如,多项式2(a+b)2-3(a+b)2-(a+b)2-0.25(a+b)2中,我们可以把(a+b)2看作一个整体,于是可以利用合并同类项法则将上式化简：原式=(2-3--0.25)(a+b)2
　　=-(a+b)2,在这里我们将合并同类项的意义进行了扩展.
　　3．去括号与添括号法则：
　　我们在合并同类项时,有时要去括号或添括号,一定要弄清法则,尤其是括号前面是负号时要更小心.
　　去括号法则：括号前面是“+”号,去掉括号和“+”号,括号里各项都不变符号；括号前面是“-”号,去掉括号和“-”号,括号里各项都改变符号.即a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c.
　　添括号法则：添括号后,括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号；添括号后,括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.即a+b+c=a+(b+c), a-b+c=a-(b-c)
　　我们应注意避免出现如下错误：去括号a2-(3a-6b+c)=a2-3a-6b+c,其错误在于：括号前面是“-”号,去掉括号和“-”号,括号里的各项都要改变符号,而上述作法只改变了3a的符号,而其它两项末变,因此造成错误.正确做法应是：a2-(3a-6b+c)=a2-3a+6b-c.又如在m+3n-2p+q=m+( )中的括号内应填上3n-2p+q,在
　　m-3n-2p+q=m-( )中的括号内应填上3n+2p-q.
　　4．整式加减运算：
　　（1）几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接.如单项式xy2, -3x2y, 4xy2,
　　-5x2y的和表示xy2+(-3x2y)+4xy2+(-5x2y),又如：a2+ab+b2与2a2+3ab-b2的差表示为(a2+ab+b2)-(2a2+3ab-
　　b2)
　　（2）整式加减的一般步骤：
　　①如果遇到括号,按去括号法则先去括号；
　　②合并同类项
　　③结果写成代数和的形式,并按一定字母的降幂排列.
　　整式加减的结果仍是整式.
　　从步骤可看出合并同类项和去括号、添括号法则是整式加减的基础.
　　二、例题
　　例1、合并同类项
　　（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)
　　（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)]
　　（3）(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2)
　　（1）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)
　　=3x-5y-6x-7y+9x-2y （正确去掉括号）
　　=(3-6+9)x+(-5-7-2)y （合并同类项）
　　=6x-14y
　　（2）2a-[3b-5a-(3a-5b)] （应按小括号,中括号,大括号的顺序逐层去括号）
　　=2a-[3b-5a-3a+5b] （先去小括号）
　　=2a-[-8a+8b] （及时合并同类项）
　　=2a+8a-8b （去中括号）
　　=10a-8b
　　（3）(6m2n-5mn2)-6(m2n-mn2) （注意第二个括号前有因数6）
　　=6m2n-5mn2-2m2n+3mn2 （去括号与分配律同时进行）
　　=(6-2)m2n+(-5+3)mn2 （合并同类项）
　　=4m2n-2mn2
　　例2．已知：A=3x2-4xy+2y2,B=x2+2xy-5y2
　　求：（1）A+B （2）A-B （3）若2A-B+C=0,求C.
　　(1）A+B=(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2)
　　=3x2-4xy+2y2+x2+2xy-5y2（去括号）
　　=(3+1)x2+(-4+2)xy+(2-5)y2（合并同类项）
　　=4x2-2xy-3y2（按x的降幂排列）
　　（2）A-B=(3x2-4xy+2y2)-(x2+2xy-5y2)
　　=3x2-4xy+2y2-x2-2xy+5y2 （去括号）
　　=(3-1)x2+(-4-2)xy+(2+5)y2 （合并同类项）
　　=2x2-6xy+7y2 （按x的降幂排列）
　　（3）∵2A-B+C=0
　　∴C=-2A+B
　　=-2(3x2-4xy+2y2)+(x2+2xy-5y2)
　　=-6x2+8xy-4y2+x2+2xy-5y2 （去括号,注意使用分配律）
　　=(-6+1)x2+(8+2)xy+(-4-5)y2 （合并同类项）
　　=-5x2+10xy-9y2 （按x的降幂排列）
　　例3．计算：
　　（1）m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2)
　　（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an)
　　（3）化简：(x-y)2-(x-y)2-[(x-y)2-(x-y)2]
　　（1）m2+(-mn)-n2+(-m2)-(-0.5n2)
　　=m2-mn-n2-m2+n2 （去括号）
　　=(-)m2-mn+(-+)n2 （合并同类项）
　　=-m2-mn-n2 （按m的降幂排列）
　　（2）2(4an+2-an)-3an+(an+1-2an+1)-(8an+2+3an)
　　=8an+2-2an-3an-an+1-8an+2-3an （去括号）
　　=0+(-2-3-3)an-an+1 （合并同类项）
　　=-an+1-8an
　　（3）(x-y)2-(x-y)2-[(x-y)2-(x-y)2] [把(x-y)2看作一个整体]
　　=(x-y)2-(x-y)2-(x-y)2+(x-y)2 （去掉中括号）
　　=(1--+)(x-y)2 （“合并同类项”）
　　=(x-y)2
　　例4求3x2-2{x-5[x-3(x-2x2)-3(x2-2x)]-(x-1)}的值,其中x=2.
　　分析：由于已知所给的式子比较复杂,一般情况都应先化简整式,然后再代入所给数值x=-2,去括号时要注意符号,并且及时合并同类项,使运算简便.
　　原式=3x2-2{x-5[x-3x+6x2-3x2+6x]-x+1} （去小括号）
　　=3x2-2{x-5[3x2+4x]-x+1} （及时合并同类项）
　　=3x2-2{x-15x2-20x-x+1} （去中括号）
　　=3x2-2{-15x2-20x+1} （化简大括号里的式子）
　　=3x2+30x2+40x-2 （去掉大括号）
　　=33x2+40x-2
　　当x=-2时,原式=33×(-2)2+40×(-2)-2=132-80-2=50
　　例5．若16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项,求3m+2n的值.
　　∵16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项
　　∴对应x,y的次数应分别相等
　　∴3m-1=5且2n+1=5
　　∴m=2且n=2
　　∴3m+2n=6+4=10
　　本题考察我们对同类项的概念的理解.
　　例6．已知x+y=6,xy=-4,求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值.
　　(5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)
　　=5x-4y-3xy-8x+y-2xy
　　=-3x-3y-5xy
　　=-3(x+y)-5xy
　　∵x+y=6,xy=-4
　　∴原式=-3×6-5×(-4)=-18+20=2
　　说明：本题化简后,发现结果可以写成-3(x+y)-5xy的形式,因而可以把x+y,xy的值代入原式即可求得最后结果,而没有必要求出x,y的值,这种思考问题的思想方法叫做整体代换,希望同学们在学习过程中,注意使用.
　　三、练习
　　（一）计算：
　　（1）a-(a-3b+4c)+3(-c+2b)
　　（2）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)
　　（3）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]}
　　（二）化简
　　（1）a>0,b