（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB•PC≥P0B•P0C则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC

Question

（2013•浙江）设△ABC，P₀是边AB上一定点，满足P0B＝(1)/(4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B 

•

P0C 

则（　　）

A．∠ABC=90°
B．∠BAC=90°
C．AB=AC
D．AC=BC

Answer 1

以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）
（-2＜x＜2），则BP₀=1，A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0）
∴

P0B

=（1，0），

PB

=（2-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-1，b）
∵恒有

PB

•

PC

≥

P0B 

•

P0C 

∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立
令f（x）=x²-（a+2）x+a+1，
当(a+2)/(2)＜-2，必有f（-2）≥0，无解；
当(a+2)/(2)＞2，必有f（2）≥0，无解；
当-2≤(a+2)/(2)≤2，必有△=（a+2）²-4（a+1）≤0
即△=a²≤0
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上
∴AC=BC
故△ABC为等腰三角形
故选D