关于x的不等式（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的值为．

Question

关于x的不等式（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的值为______．

Answer 1

∵（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴当x∈（0，1]时，lnx≤0，
∴2ax-1≤0，
∴a≤(1)/(2x)（0＜x≤1），
令f（x）=(1)/(2x)，则f（x）在（0，1]上单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=(1)/(2)
∴a≤(1)/(2)．①
当x∈[1，+∞）时，lnx≥0，
∴（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立⇔2ax-1≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
同理可求a≥f（x）_max=f（1）=(1)/(2)．②
由①②得：a=(1)/(2)．
故答案为：(1)/(2)．