函数f（x）=-x2+3x+a，g（x）=2x-x2，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

函数f（x）=-x²+3x+a，g（x）=2^x-x²，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2^xln2-2x，
g″（x）=（ln2）²•2^x-2<0，从而g′（x）在[0，1]上单调递减，
设g′（x₀）=0，则函数在[0，x₀]上单调递增，在[x₀，1]上单调递减，
∴t=g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x₀）]，其中g（x₀）=2x0-

x

2 0

<2，
则问题转化为a≥t²-3t在[1，g（x₀）]上恒成立，
∵y=t²-3t在（0，(3)/(2)）上单调递减，在[(3)/(2)，+∞）上单调递增，
∴y=t²-3t在[1，g（x₀）]上的最大值为1-3=-2，
∴a≥-2．
故答案为：[-2，+∞）．