若不等式（m2-m）2x-(12)x＜1对一切x∈（-∞，-1]恒成立，则实数m的取值范围是．

Question

若不等式（m²-m）2^x-((1)/(2))x＜1对一切x∈（-∞，-1]恒成立，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

（m²-m）2^x-((1)/(2))x＜1对一切x∈（-∞，-1]恒成立等价为
（m²-m）2^x＜((1)/(2))x+1，
即（m²-m）＜(2−x+1)/(2x)=(2−x)2+(1)/(2x)=（((1)/(2))x+(1)/(2)）²-(1)/(4)，
∵x∈（-∞，-1]，
∴((1)/(2))x＞2，
即（((1)/(2))x+(1)/(2)）²-(1)/(4)＞(2+(1)/(2))2−(1)/(4)=6，
即（m²-m）＜6，
则m²-m-6＜0，
解得-2＜m＜3，
故答案为：-2＜m＜3