点P是棱长为1的正方体ABCD--A1B1C1DI的底面A1B1C1DI上一点,则PA*PC1的取值范围是-1/2,0点P是棱长为1的正方体ABCD--A1B1C1DI的底面A1B1C1DI上一点,则PA*PC1的取值范围是-1/2,0为什么

Question

点P是棱长为1的正方体ABCD--A1B1C1DI的底面A1B1C1DI上一点,则PA*PC1的取值范围是 【-1/2,0】
点P是棱长为1的正方体ABCD--A1B1C1DI的底面A1B1C1DI上一点,则PA*PC1的取值范围是
【-1/2,0】
为什么

Answer 1

建立如图所示空间直角坐标系
A(1,0,0)
C1(0,1,1)
P(x,y,1)
0<=x<=1
0<=y<=1
向量PA=(1-x,-y,-1)
向量PC1=(-x,1-y,0)
向量PA*向量PC1
=-x+x²-y+y²
=(x-1/2)²+(y-1/2)²-1/2
表示正方形内到定点(1/2,1/2)的距离的平方-1/2
最小值=0-1/2=-1/2
最大值=(√2/2)²-1/2=0
∴范围是[-1/2,0]