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若关于x不等式xlnx-x3+x2≤aex恒成立,则实数a的取值范围是()A.[e,+∞)B.[0,+∞)C.[1e,+∞)D.[1,+∞)
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若关于x不等式xlnx-x3+x2≤aex恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. [e,+∞)
B. [0,+∞)
C. [
,+∞)1 e
D. [1,+∞)
▼优质解答
答案和解析
x∈R时,ex>0恒成立,
∴关于x不等式xlnx-x3+x2≤aex
化为a≥
;
设f(x)=
,其中x∈(0,+∞);
则f′(x)=
,
设g(x)=lnx+1-xlnx+x3-4x2+2x,其中x∈(0,+∞);
则g′(x)=
-lnx-1+3x2-8x+2=3x2-8x+1+
-lnx<0,
∴g(x)是单调减函数,且g(1)=0,
∴x=1时,f(x)取得最大值0,
∴实数a的取值范围是[0,+∞).
故选:B.
∴关于x不等式xlnx-x3+x2≤aex
化为a≥
xlnx-x3+x2 |
ex |
设f(x)=
xlnx-x3+x2 |
ex |
则f′(x)=
lnx+1-4x2+2x-xlnx+x3 |
ex |
设g(x)=lnx+1-xlnx+x3-4x2+2x,其中x∈(0,+∞);
则g′(x)=
1 |
x |
1 |
x |
∴g(x)是单调减函数,且g(1)=0,
∴x=1时,f(x)取得最大值0,
∴实数a的取值范围是[0,+∞).
故选:B.
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