设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x-5）2+y2=r2（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是．

Question

设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x-5）²+y²=r²（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是___．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=2，
因为直线与圆相切，所以(y0)/(x0-5)=-(1)/(k)，所以x₀=3，
即M的轨迹是直线x=3．
将x=3代入y²=4x，得y²=12，
∴-2√(3)<y₀<2√(3)，
∵M在圆上，
∴（x₀-5）²+y₀²=r²，
∴r²=y₀²+4≤12+4=16，
∵直线l恰有4条，
∴y₀≠0，
∴4<r²<16，
故2<r<4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2<r<4，
故答案为：2<r<4．