已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．

Question

已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．   
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．

Answer 1

（Ⅰ）令抛物线E的方程：y²=2px（p＞0）
∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2
∴抛物线E的方程：y²=4x    
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式相减，得（y₂-y₁）/（y₁+y₂）=4（x₂-x₁）
∵线段AB恰被M（2，1）所平分
∴y₁+y₂=2
∴(y2−y1)/(x2−x1)=2
∴AB的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．