设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=(12)x−1．若函数g（x）=f（x）-loga（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范

Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=((1)/(2))x−1．若函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是

（

3

4

，2）

（

3

4

，2）

．

Answer 1

∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=((1)/(2))x−1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解
则log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：

3

4

＜a＜2，
即a的取值范围是（

3

4

，2）；
故答案为（

3

4

，2）．