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若方程sin^2 X+2sin2X-2cos^2X=a总有实数解,求a的取值范围.
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若方程sin^2 X+2sin2X-2cos^2X=a总有实数解,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
解由方程sin^2 X+2sin2X-2cos^2X=a总有实数解
故方程a=sin^2 X+2sin2X-2cos^2X总有实数解
即方程a=sin^2 X-cos^2X+2sin2X-cos^2X总有实数解
即方程a=-cos2x+2sin2x-(1+cos2x)/2总有实数解
即方程a=-3/2cos2x+2sin2x-1/2总有实数解
即a是关于x的函数
则由a=-3/2cos2x+2sin2x-1/2
=5/2(-3/5cos2x+4/5sin2x)-1/2
=5/2cos2(x+θ)-1/2
由cos2(x+θ)属于[-1,1]
则5/2cos2(x+θ)属于[-5/2,5/2]
则5/2cos2(x+θ)-1/2属于[-3,2]
故a属于[-3,2].
故方程a=sin^2 X+2sin2X-2cos^2X总有实数解
即方程a=sin^2 X-cos^2X+2sin2X-cos^2X总有实数解
即方程a=-cos2x+2sin2x-(1+cos2x)/2总有实数解
即方程a=-3/2cos2x+2sin2x-1/2总有实数解
即a是关于x的函数
则由a=-3/2cos2x+2sin2x-1/2
=5/2(-3/5cos2x+4/5sin2x)-1/2
=5/2cos2(x+θ)-1/2
由cos2(x+θ)属于[-1,1]
则5/2cos2(x+θ)属于[-5/2,5/2]
则5/2cos2(x+θ)-1/2属于[-3,2]
故a属于[-3,2].
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