设x,y是正实数,且x+y=1,则x2+y2的最小值是?此时x=?,y=?

Question

设x,y是正实数,且x+y=1,则x2+y2的最小值是?此时x=?,y=?

Answer 1

数形结合：设在平面直角坐标系xOy中存在一点P(x,y)满足条件x+y=1
根据x^2+y^2的几何意义可知,x^2+y^2为点P到原点距离的平方
（这时需要画图:x+y=1就是一次函数y=-x+1）
由图(具体证明略)可知：点P到原点距离的平方最小为1/2
即当x=y=1/2时,x^2+y^2最小值为1/2.
均值定理（帮楼上）：由题：x^2+2xy+y^2=1,即2xy=1-(x^2+y^2)
根据均值定理:x^2+y^2≥2xy
∴x^2+y^2≥1-(x^2+y^2)
∴2(x^2+y^2)≥1
即(x^2+y^2)≥1/2
当且仅当x^2=y^2时,即x=y=1/2时,x^2+y^2最小值为1/2.