如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明直线BC∥EF;(2)求棱锥FOBED的体积.

Question

如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)证明直线BC∥EF;
(2)求棱锥F OBED的体积.

Answer 1

（1）见解析  （2）

(1)证明:如图所示,设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形,且OD=2,

所以OB DE,
OG=OD=2.
同理,设G′是线段DA延长线与线段FC延长线的交点,有OC DF,OG′=OD=2.
又由于G和G′都在线段DA的延长线上,
所以G与G′重合.
在△GED和△GFD中,
由OB DE和OC DF,
可知B、C分别是GE和GF的中点,
所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,
知S _△OBE = ,
而△OED是边长为2的正三角形,
故S _△OED = .
所以S _{四边形OBED} =S _△OBE +S _△OED = .
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,
由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥F OBED的高,且FQ= ,
所以 = FQ·S _{四边形OBED} = .