（2012•威海二模）如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=3，AP=5，PC=27．（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；（Ⅱ）若∠CDP=90°，求证BE⊥DP；（Ⅲ）若∠CDP=120°

Question

（2012•威海二模）如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=3，AP=5，PC=2√(7)．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP=90°，求证BE⊥DP；
（Ⅲ）若∠CDP=120°，求该多面体的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取PC的中点为O，连FO，DO，

∵F，O分别为BP，PC的中点，∴FO∥BC，且FO＝(1)/(2)BC，
又ABCD为平行四边形，ED∥BC，且ED＝(1)/(2)BC，
∴FO∥ED，且FO=ED
∴四边形EFOD是平行四边形---------------------------------------------（2分）
即EF∥DO   
又EF⊄平面PDC，
∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：若∠CDP=90°，则PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC，DP⊂平面PDC，∴AD⊥DP，
∵AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，---------------------------------（6分）
∵BE⊂平面ABCD，
∴BE⊥DP--------------------------------（8分）
（Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，
所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．
∵AD⊥平面PDC，DP⊂平面PDC，∴AD⊥DP，
由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP=120°，PC=2√(7)，由余弦定理并整理得DC²+4DC-12=0，解得DC=2--------------------------（10分）
∴三棱锥P-ADC的体积V＝(1)/(3)×(1)/(2)×2×4×sin120°×3＝2√(3)
∴该五面体的体积为4√(3)-----------------------------（12分）