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已知：X的n次幂减去Y的n次幂（n为正偶数）,求证：X的n次幂减去Y的n次幂能被X加上Y整除.用数学归纳法证明.
题目详情
已知：X的n次幂减去Y的n次幂（n为正偶数）,求证：X的n次幂减去Y的n次幂能被X加上Y整除.用数学归纳法证明.
▼优质解答
答案和解析
只需讨论n为正偶数的情况.
首先讨论n=2:显然x^2-y^2=(x+y)(x-y)可被（x+y）整除.
然后假设n=k时x^k-y^k可被(x+y)整除,
则当n=k+2时x^(k+2)-y^(k+2)=x^2(x^k-y^k)+x^2*y^k-y^(k+2)
=x^2(x^k-y^k)+(x^2-y^2)y^k.
由于(x^2-y^2)可被(x+y)整除,又假设了x^k-y^k可被(x+y)整除,故整个式子可被(x+y)整除.
有数学归纳法知,由n=2时成立,后面的所有情况亦成立.
得证.
首先讨论n=2:显然x^2-y^2=(x+y)(x-y)可被（x+y）整除.
然后假设n=k时x^k-y^k可被(x+y)整除,
则当n=k+2时x^(k+2)-y^(k+2)=x^2(x^k-y^k)+x^2*y^k-y^(k+2)
=x^2(x^k-y^k)+(x^2-y^2)y^k.
由于(x^2-y^2)可被(x+y)整除,又假设了x^k-y^k可被(x+y)整除,故整个式子可被(x+y)整除.
有数学归纳法知,由n=2时成立,后面的所有情况亦成立.
得证.
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