这个不等式,不用归纳法怎么证明?(1-x^2)^n≥1-nx^2 (0≤x≤1)

Question

这个不等式,不用归纳法怎么证明?
(1-x^2)^n≥1-nx^2 (0≤x≤1)

Answer 1

【【注：
[1]构造一个函数,利用函数单调性证明.
[2]由题意,可以猜测,n是正整数.】】
【【【证明：】】】
构造函数：
f(x)=[(1-x²)^n]+nx².
其中,0≤x≤1,n∈N+
求导,可得：
f'(x)=n×[(1-x²)^(n-1)]×(-2x)+2nx.
=(2nx)×{1-[(1-x²)^(n-1)]}.
显然,2nx≥0.又
∵0≤x²≤1
∴0≤1-x²≤1
∴0≤(1-x²)^(n-1)≤1
∴在[0,1]上,导函数f'(x)≥0.
∴在[0,1]上,函数f(x)递增.
∴恒有：f(x)≥f(0)=1
即：[(1-x²)^n]+nx²≥1
∴当0≤x≤1时,恒有：
(1-x²)^n≥1-nx²