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(2015•惠州模拟)如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,∠BAD=π3.(1)求证:平面BCF∥面AED;(2)若BF=BD=a,求四棱锥A-BDEF的体积.
题目详情
(2015•惠州模拟)如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,∠BAD=
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(1)求证:平面BCF∥面AED;
(2)若BF=BD=a,求四棱锥A-BDEF的体积.
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(1)求证:平面BCF∥面AED;
(2)若BF=BD=a,求四棱锥A-BDEF的体积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵ABCD是菱形,
∴BC∥AD,
∵BC⊄面ADE,AD⊂面ADE,
∴BC∥面ADE…(3分)
∵BDEF是矩形,∴BF∥DE,
∵BF⊄面ADE,DE⊂面ADE,
∴BF∥面ADE,
∵BC⊂面BCF,BF⊂面BCF,BC∩BF=B,
∴面BCF∥面ADE…(6分)
(2)连接AC,AC∩BD=O
∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD
∵ED⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,
∴ED⊥AC,
∵ED,BD⊂面BDEF,ED∩BD=D,
∴AO⊥面BDEF,…(10分)
∴AO为四棱锥A-BDEF的高
由ABCD是菱形,∠BAD=
,则△ABD为等边三角形,
由BF=BD=a,则AD=a,AO=
a,
∵SBDEF=a2,
∴VA−BDEF=
•a2•
a=
a3…(14分)
∴BC∥AD,
∵BC⊄面ADE,AD⊂面ADE,
∴BC∥面ADE…(3分)
∵BDEF是矩形,∴BF∥DE,
∵BF⊄面ADE,DE⊂面ADE,
∴BF∥面ADE,
∵BC⊂面BCF,BF⊂面BCF,BC∩BF=B,
∴面BCF∥面ADE…(6分)
(2)连接AC,AC∩BD=O
∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD
∵ED⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,
∴ED⊥AC,
∵ED,BD⊂面BDEF,ED∩BD=D,
∴AO⊥面BDEF,…(10分)
∴AO为四棱锥A-BDEF的高
由ABCD是菱形,∠BAD=
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由BF=BD=a,则AD=a,AO=
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∵SBDEF=a2,
∴VA−BDEF=
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