已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45°.求证：DE²=BD²+EC²图是我头像

Question

已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45°.
求证：DE²=BD²+EC²
图是我头像

Answer 1

过A作AF,使得AF=AD,且∠CAF=∠BAD,连接CF,(△CAF在△ABC的外面).
因为∠DAE=45°,所以∠BAD+∠CAE=45°,且∠CAF=∠BAD
则∠CAF+∠CAE=∠EAF=45°=∠DAE
因为∠EAF=∠DAE,AF=AD,AE=AE,所以
△DAE≌△FAE,则 DE=EF ,CF=BD
对于△ECF,∠ECF=90° -->EF^2=CE^2+CF^2
代入DE=EF ,CF=BD
所以,DE^2=CE^2+BD^2