已知抛物线上y=x²上两个不同点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的取值范围

Question

已知抛物线上y=x²上两个不同点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的取值范围

Answer 1

我们设M、N的横坐标分别a、b,则对应的纵坐标是a^2、b^2
即M(a,a^2),N(b,b^2)
因为MN关于y=-kx+9/2对称,所以MN的中点在直线上,并且MN与直线垂直,即MN的斜率与-k的积是-1,所以有：
(a^2-b^2)/(a-b)*(-k)=-1,化简有 (a+b)*k=1
(a^2+b^2)/2=-k*(a+b)/2+9/2,化简有 a^2+b^2=8
即变成了在a^2+b^2=8条件下求(k=1/(a+b)的取值范围
a^2+b^2=8,是一个圆,为了书写简单,我们令a=2√2*sint,b=2√2*cost
这时k=1/(2√2sint+2√2cost)
1/k=4(cos(π/4)*sint+sin(π/4)*cost)
k=1/(4*sin(t+π/4))
其中 -1≤sin(t+π/4)≥1
所以有k ≤ -1/4 和 k≥1/4