如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠ABC=60°，E、F分别为BC、PD的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）求EF与平面ABCD所成的角的正切值．

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠ABC=60°，E、F分别为BC、PD的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）求EF与平面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

（1）证明：由题意知△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
∵BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．
∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．…（6分）
（2）取AD的中点G，连结FG，则FG∥PA．
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD．
连结EG，则∠FEG为EF与平面ABCD所成的角．
易知，FG＝(1)/(2)PA＝1，EG=AB=2．
在Rt△FEG中，求得tan∠FEG＝(FG)/(EG)＝(1)/(2)．
∴EF与平面ABCD所成的角的正切值为(1)/(2)．…（13分）