急：如图,已知在三角形ABC中,D是BC中点,AD=AC,DE垂直于BC交AB于点E,EC与AD相交于点F(1)求证：三角形ABC相似于三角形FCD；（2）若S三角形FCD=5,BC=10,求DE的长.

Question

急：如图,已知在三角形ABC中,D是BC中点,AD=AC,DE垂直于BC交AB于点E,EC与AD相交于点F
(1)求证：三角形ABC相似于三角形FCD；
（2）若S三角形FCD=5,BC=10,求DE的长.

Answer 1

（1）证明：∵AD=AC
∴△ADC为等腰三角形 ∠ADC=∠ACD
∵D为BC中点
∴BD=CD
∵ED⊥BC
∴∠EDB=∠EDC=90°
∵ED=ED
∴△EDB≌△EDC
∴∠B=∠ECD
∵∠ABC=∠ECD ∠ACB=∠FDC
∴△ABC∽△FCD
（2）∵△ABC∽△FCD
∴BC²：CD²=S△ABC：S△FCD BC=2CD
∴4：1=S△ABC：5
∴S△ABC=20
过点A作AG⊥BC于点G
∵△ADC为等腰三角形 AG⊥BC
∴DG=CG=1/2CD
∵CD=BD=1/2BC=1/2·10=5
∴DG=CG=1/2CD=1/2CD=1/2·5=2.5
∴BG=DG+BD=2.5+5=7.5
∵S△ABC=1/2BC·AG=1/2·10·AG=20
∴AG=4
∵ED⊥BC AG⊥BC
∴△EDB∽△AGB
∴BD：BG=ED：AG
∴5：7.5=ED：4
∴ED=8/3